حل مقترح لموضوع أولمبياد الرياضيات العربي الأول الذي أقيم بالمملكة العربية السعودية يوم 26 نونبر 2018
±^éf¹æù |²ÏÚ Øu
l^é•^è†Ö]
íée†ÃÖ]
Ùæù]
íè±çÊÖ] íée†ÃÖ] íÓ×Û¹^e ÜéÎ_ ë„Ö]
삜
Vƒ_ |]²Î] àÚ
êŠè†¤ ³´
íÖ`Š¹]
1
íÛ¿ß×Ö ˆÚ†Þ
2
2
2
12
12
x
y
z
x
y
z
+
−
=
+
−
=
ˆÚ†Ö^e
(
)
E
æ
VÄ–Þ
12
a
x
=
−
æ
12
b
y
=
−
æ
12
c
z
=
−
VáƒcH
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
24
144
24
144
144
24
24
2
12
144
2
12
132
66
2
3
11
2
1,66 ; 2,3
,
a
b
c
E
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
c
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
c
ab
a
b
c
ab
a
b
c
a b
+
+
+
−
−
=
⇔
+
+
+
−
+
=
+
=
⇔
+
+
+
−
+
+
=
+
=
⇔
+
+
+ +
+
+
−
+
+
+
+
+
=
+
=
⇔
−
=
+
=
⇔
=
=
=
×
×
+
=
⇔
∈
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
3 ; 3;22 ; 6;11 ;
1,
66 ;
2,
33 ;
3; 22 ;
6; 11 ;
66,1 ; 33,2 ; 22;3 ; 11;6 ;
66,
1 ;
33,
2 ;
22; 3 ;
11; 6
1,66,67 ; 2,33,35 ; 3;22,25 ; 6;11,17 ;
1, 66, 67 ;
2,
33, 35 ;
3; 22, 25 ;
6; 11,
17 ;
, ,
66,1,67 ; 33,2,35
a b c
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⇔
∈
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; 22;3,25 ; 11;6,17 ;
66, 1, 67 ;
33,
2, 35 ;
22; 3, 25 ;
11; 6,
17 ;
1,66,67 ; 2,33,35 ; 3;22,25 ; 6;11,17 ;
, ,
:
12 ,
12 ,
12
66,1,67 ; 33,2,35 ; 22;3,25 ; 11;6,17
13,78,79 ; 14,45,4
,
,
a b c
car
a
b
c
E
x y z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⇔
∈
≥ −
≥ −
≥ −
⇔
∈
(
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
7 ; 15;34,37 ; 18;23,29 ;
78,13,79 ; 45,14,47 ; 34;15,37 ; 23;18,29
^è…çÖ^Óe
|^rßÖ]
l^é•^è†Ö] ±^éf¹æ_
íée†ÃÖ]
2018
íÖ`Š¹]
2
á_ š²ËÞ
S
H
T
H
D
H
O
ì‚u]æ ì†ñ]± î× ÄÏi
êÂ^e†Ö] áƒc
OSTD
äßÚ æ ë†ñ]±
°
°
TSO
TDO
π
+
=
V á_ oéu æ
°
°
TSO
ASO
π
+
=
VádÊ H
( )
°
°
1 :
ASO
TDO
=
o×n¹] » ^ßè‚Ö Hï†}_ íãq àÚ
OAB
V
(
)
D
OA
∈
æ
(
)
S
OB
∈
æ
(
)
(
)
/ /
SD
AB
‹éÖ^µ íßâ¶Ú gŠu áƒc H
VádÊ ì†·^f¹]
OS
OD
OB
OA
=
H
Vá_ ^¸ æ
OA
OB
=
VádÊ H
OS
OD
=
àÚ
OA
OB
=
æ
OS
OD
=
æ
°
°
SOA
DOB
=
°n×n¹] á_ sjßjŠÞ DŒ_†Ö^e á^j×e^ÏjÚ á^jèæ]‡E
OSA
æ
ODB
Há^Šè^ÏjÚ
Váƒc
( )
°
°
2 :
ASO
ODB
=
àÚ
( )
1
æ
( )
2
á_ sjßjŠÞ
°
°
TDO
ODB
=
Vá_ ^¸ æ
°
°
TDO
ODB
π
+
=
VádÊ H
°
°
2
TDO
ODB
π
=
=
áƒc
(
)
OD
o×nÛ×Ö Å^Ëi…]
OBC
Œ_†Ö] » °Î^ŠÖ] ëæ^ŠjÚ o×n¹] ]„â á_ ^¸ æ H
O
䪉]æ ^–è_ çãÊ H
á_ ^¸ æ
A
VádÊ ¼‰]çÖ] ]„º êÛjßi
AB
AC
=
o×n¹] êÖ^jÖ^e æ H
ABC
Œ_†Ö] » °Î^ŠÖ] ëæ^ŠjÚ
A
íÖ`Š¹]
3
A
D
C
O
B
S
T
x
1
x
2
x
3
x
k
x
k+1
x
k+2
x
1440
x
1439
x
1438
z
y
x
a
b
àÓéÖ
a
†Ç‘_
E ±]‚Âù] å„â
{
}
{
}
/
1,2,...,1440
k
a
Min x
k
=
∈
D
áƒc
0
a
≥
DäÖ °éÖ]ç¹] à豂ÃÖ] цËÖ íÏת¹] íÛéÏÖ] ëæ^Šè äÞùE
Ö æ
j
àÓ
x
æ
y
æ
z
±]‚Âù]
±‚ÃÖ] 솷^fÚ ê×i ½Ö]
a
» géi²Ö] ]„â »
‹ÓÂ
íÂ^ŠÖ] h…^Ï å^Ÿ]
æ
àÓéÖ
b
±‚ÃÖ] 솷^fÚ ê×è ë„Ö] ±‚ÃÖ]
a
íÂ^ŠÖ] h…^Ï å^Ÿ] »
Váƒc
x
b
a
=
−
æ
y
a
x
=
−
æ
z
y
x
=
−
Váƒc
x
b
a
=
−
æ
VäßÚ
(
)
2
y
x
a
y
b
a
a
y
b
a
=
−
=
−
−
=
−
VäßÚ æ
(
)
2
2
z
b
a
b
a
z
b
a
b
a
z
a
z
a
=
−
−
−
=
−
−
+
= −
=
°jfi†e íÂ^ŠÖ] h…^Ï ‹ÓÃe ^ßãŸ] ^Û×Ò …†Ójè ±]‚Âù] å„⠆Ǒ_ áƒc
íÛŠÏe
1440
î×Â
3
à ì…^f ±]‚Âù] å„â á_ sjßjŠÞ
480
ØÓ¾Ö] î× pç×nÚ
(
)
,
,
k
k
a b
c
oéu
k
b
æ
k
c
±‚ÃÖ] á^é×è á]„×Ö] á]±‚ÃÖ] êÖ]çjÖ] î× êâ
a
íÂ^ŠÖ] h…^Ï å^Ÿ] »
E
{
}
1,2,..,480
k
∈
1
1
...
k
k
k
k
a
b
c
a
b
c
+
+
→
→
→
→
→
Váƒc
k
k
b
c
a
=
−
æ
1
k
k
c
b
a
+
=
−
VäßÚ æ
1
2
k
k
k
k
b
c
a
b
a
a
b
a
+
=
+
=
+
+
=
+
Váƒc
(
)
k
b
^â^‰^‰_ íée^Šu íéÖ^jjÚ
2
a
VäßÚ æ H
(
)
1
2
1
k
b
b
k
a
=
+
−
Ö êÖ]ç¹] ±‚ÃÖ] ádÊ ì†ñ]± î× ÄÏi ±]‚Âù] á_ oéu æ
±‚Ã×
480
b
‚ÃeE
480
c
æ
a
çâ D
1
b
Váƒc
1
480
2
b
b
a
=
+
VádÊ íÏe^ŠÖ] íréjßÖ] gŠu æ
480
1
958
b
b
a
=
+
Váƒc
480
480
2
958
b
b
a
a
=
+
+
VäßÚ æ
960
0
a
=
Vë_
0
a
=
VêÖ^jÖ^e æ
1
k
b
b
=
ØÓÖ
{
}
1,2,..,480
k
∈
VäßÚ æ
1
1
1
0
k
k
c
b
a
b
b
+
=
−
=
−
=
ØÓÖ
{
}
1,2,..,480
k
∈
Váƒc
à ì…^f ±]‚Âù] å„â
480
ØÓ¾Ö] î× pç×nÚ
(
)
1
1
0,
,
b b
Vçâ ^ãÂçÛ¥
1
1
2
480
960
S
b
b
=
×
=
Vá_ oéu æ
960
S
=
VádÊ H
1
1
b
=
Ví‘ø}
à ì…^f ^ãß pçvf¹] ±]‚Âù]
480
ØÓ¾Ö] î× pç×nÚ
(
)
0,1,1
JíÂ^ŠÖ] h…^Ï å^Ÿ^e ì†ñ]± » íÚ牆Ú
°
íÏÊ… äÞæ‚Ÿ ÜãËÖ] àÚ ‚船 çè‚éËÖ^e Øv×Ö |†· Õ^ßãÊ ÔÖ„Ö HíŞŠfÚ íé•^è… íÏè†Şe Ø£] Üè‚Ïi gÃ’è àÓÖ H]‚q ØéÀ àè†Á
ÄÎçÚ î× Ì×¹]
|^rßÖ] ^è…çÖ^Óe
íÖ`Š¹]
4
^ßè‚Ö
p
æ
q
áƒc H á^éÖæ_
2
p
≥
æ
2
q
≥
V^ßè‚Ö æ H
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
p
p
q
p
p
q
p p
q
q
q
p
q
q
q
p q
ou
p q
q
car p est premier
−
+
=
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
+
+
⇒
−
+
+
⇒
−
+
+
°
Vá^Ò ]ƒc
1
p q
−
VádÊ H
1
q
ap
−
=
oéu
a
∈
ℕ
á_ oéu æ H
1
1
q
−
≥
VádÊ
1
ap
≥
VäßÚ æ
1
0
a
p
≥
>
VäßÚ æ
1
a
≥
ÔÖ„e æ
sjßjŠÞ
Vá_
(
)
(
)
2
1
1
p p
ap q
q
−
=
+
+
Vë_
(
)
2
1
1
p
a q
q
−
=
+
+
Vë_
(
)
(
)
2
1
1
2
p
a
ap
ap
−
=
+
+
+
æ
oéu
Vá_
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
a
ap
ap
ap
ap
p
+
+
+
≥
+
+
+
>
−
VáùE
1
a
≥
æ
1
ap
p
+
≥
æ
2
1
ap
+
> −
D
ádÊ
V
2
1
1
p
p
−
>
−
Vë_
2
p
p
>
Vë_
1
p
>
àÓÆ ³È ]„â æ H
°
Vá^Ò ]ƒc
2
1
p q
q
+
+
VádÊ H
2
1
q
q
ap
+
+
=
oéu
a
∈
ℕ
á_ oéu æ H
2
1
1
q
q
+
+
≥
H
VádÊ
1
a
≥
ÔÖ„e æ
sjßjŠÞ
Vá_
(
)
(
)
1
1
p p
ap q
−
=
−
Vë_
(
)
1
1
p
a q
−
=
−
Vë_
1
p
aq
a
=
−
+
æ
VäßÚ
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
q
q
a aq
a
q
q
a q
a
a
q
a
q
a
a
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
−
+
−
+
=
á_ ^¸
q
^Ò Äe†Ú íÖ±^ù] 챂¦ ádÊ ívév‘ ±]‚Â_ ^ãiøÚ^ÃÚ íéÞ^nÖ] íq…‚Ö] àÚ íÖ±^ù Øu
ØÚ
Vêâ íÖ±^ù] 챂¦
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
4
2
4
2
2
2
1
4
1
2
1
4
4
4
6
4
3
6
9
4
12
3
4
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∆ =
−
−
−
+
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
+
−
∆ =
−
+
−
Vá_ ^ß•²Ê] ]ƒc
3
0
a
−
>
Vá_ íãq àÚ sjßjŠßŠÊ H
(
)
2
2
3
a
∆ >
−
Vï†}_ íãq àÚ æ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
6
4
3
4
4
6
4
3
2
4
7
2
4
2
5
2
2
1
5
2
2
1
5
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
− ∆ =
−
+
−
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
−
− ∆ =
−
+
>
Vá_ oéu æ
2
0
3
a
<
−
æ
(
)
2
2
3
1
2
a
a
−
+
=
−
á_ ÉÃè ]„ãÊ
∆
øÚ^Ò ^Ãe†Ú áçÓè á_ àÓΜ ÷ áƒc H°Ãe^jjÚ °×Ú^Ò °Ãe†Ú °e …ç’¦
Hxév‘ ³È š]²Ê÷] êÖ^jÖ^e
VäßÚ æ
˜èçÃje
a
ÜéÏÖ^e
1
æ
2
æ
3
ù] »
íÖ±^
(
)
2
2
2
1
1
0
q
a
q
a
a
+
−
+
−
+
=
íÖ^u » ¼ÏÊ øu ØfÏi ì³}ù] å„â á_ ‚¨
3
a
=
‚Ãe H
Vá_ ‚¨ ^â
7
q
=
V‚¨ ˜èçÃjÖ^e æ
19
p
=
ï†}_ цµ Õ^ßâ áçÓè ‚Î æ_ ð^Ş}_ àÛ–jè ‚Î ê’~· ±^ãjq] ±†¥ çâ Øe H^é´… øu ‹éÖ |²Ï¹] Ø£]
çè‚éËÖ^e †ÊçjÚ Ø£]
|^rßÖ] ^è…çÖ^Óe ÄÎçÚ ¶Â
-
المسألة الأولى
الاطلاع على التصحيح يتطلب تسجيل الدخول عبر الفايسبوك
-
المسألة الثانية
الاطلاع على التصحيح يتطلب تسجيل الدخول عبر الفايسبوك -
المسألة الثالثة
الاطلاع على التصحيح يتطلب تسجيل الدخول عبر الفايسبوك -
المسألة الرابعة
الاطلاع على التصحيح يتطلب تسجيل الدخول عبر الفايسبوك